Ученый из НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде и ИППИ РАН Иван Ремизов совершил концептуальный прорыв в теории дифференциальных уравнений. Ему удалось вывести универсальную формулу для решения задач, которые более 190 лет считались нерешаемыми аналитическим путем. Полученный результат радикально меняет картину мира в одной из старейших областей математики, важной для фундаментальной физики и экономики. Результаты работы опубликованы во Владикавказском математическом журнале.
В средней школе на уроках математики учат, что для нахождения x в уравнении ax2+bx+c=0 нужно просто подставить коэффициенты a, b и c в готовую формулу вычисления корня уравнения через дискриминант. Это удобно, быстро и понятно. Однако в высшей математике, в которой описываются сложные процессы, используются уравнения вида ay''+ by'+cy=g. Это тоже уравнение второго порядка, но не алгебраическое, а дифференциальное.
Иван Ремизов
Представьте, что вы едете на машине. Если дорога идеально ровная, а скорость постоянная, рассчитать время в пути легко. Это задача с постоянными коэффициентами. А теперь представьте, что покрытие дороги постоянно меняется, ветер дует с разной силой, угол наклона горы под колесами все время разный. В таких условиях ваша скорость и время зависят от множества меняющихся факторов.
Математически это описывается дифференциальными уравнениями второго порядка. В них на месте обычных чисел в качестве коэффициентов стоят функции — величины, которые сами постоянно меняются. А вместо простого возведения в квадрат стоит операция вычисления второй производной — математический аналог того, как резко машина разгоняется или тормозит.
Такие уравнения — это фундаментальный инструмент науки: они описывают все — от колебаний маятника и сигналов в электросетях до движения планет. И именно здесь исследователи зашли в тупик. Еще в 1834 году французский математик Жозеф Лиувилль показал, что невозможно выразить решение такого уравнения через его коэффициенты, используя стандартный набор действий: сложение и вычитание, умножение и деление, а также элементарные функции, такие как корни, логарифмы, синус, косинус, и интегралы. С тех пор в математическом сообществе укоренилось мнение, что общей формулы для их решения нет и быть не может. Задача считалась закрытой и безнадежно неразрешимой более 190 лет. Простую формулу, похожую на формулу решения квадратного уравнения через дискриминант, давно перестали искать для дифференциальных уравнений.
Старший научный сотрудник НИУ ВШЭ и ИППИ РАН Иван Ремизов предложил изящный выход. Он не стал спорить с Лиувиллем, а просто расширил набор инструментов. К стандартным математическим действиям ученый добавил еще одно — нахождение предела последовательности. Это позволило записать формулу, в которую можно подставить коэффициенты a, b, c и g уравнения ay''+ by'+cy=g, и найти его решение — функцию y.
Метод основан на теории аппроксимаций Чернова. Суть идеи в том, что сложный, постоянно меняющийся процесс разбивается на бесконечное множество простых шагов. Для каждого такого участка строится свое приближение — элементарный фрагмент, который описывает поведение системы в конкретной точке. По отдельности эти кусочки дают лишь упрощенную картину, но, когда их число устремляется к бесконечности, они бесшовно соединяются в идеально точный график решения. Скорость сходимости приближений к точному решению можно найти с помощью оценок, которые Иван Ремизов получил вместе с коллегой Олегом Галкиным в прошлом году.
В новой статье Ремизова доказано: если применить к этим шагам преобразование Лапласа — метод, который переводит задачу с языка сложных изменений на язык обычных алгебраических вычислений, — они безошибочно фокусируются в итоговый результат. Ученые называют его резольвентой.
«Представьте, что искомое решение уравнения — это большая картина. Рассмотреть ее сразу целиком очень трудно. Но математика умеет отлично описывать процессы, развивающиеся во времени. Результатом работы стала теорема, которая позволяет “нарезать” этот процесс на множество маленьких простых кадров, а затем с помощью преобразования Лапласа собрать из этих кадров единую статичную картину — решение сложного уравнения, то есть резольвенту. Проще говоря, вместо того, чтобы гадать, как выглядит картина, теорема позволяет восстановить облик, быстро прокручивая “киноленту” ее создания», — объясняет автор работы, старший научный сотрудник Международной лаборатории динамических систем и приложений НИУ ВШЭ в Нижнем Новгороде Иван Ремизов.
Дифференциальные уравнения второго порядка используются не только для моделирования событий реального мира, но и для определения новых функций, которые нельзя задать иным образом. К ним относятся, например, так называемые специальные функции Матье и Хилла, они критически важны для понимания того, как движутся спутники на орбите или протоны в Большом адронном коллайдере.
«Единственное рабочее определение таких функций заключается в том, что они являются решениями конкретных сложных уравнений. Это как если бы вы не знали имени человека и могли описать его только через работу. Например: тот человек, который водит красный автобус по пятому маршруту. Понятно, о ком идет речь, но на практике не помогает обратиться к нему по имени», — поясняет Иван Ремизов.
Предложенный автором подход позволяет выражать решения уравнений через их коэффициенты напрямую. Благодаря этому специальные функции теперь можно задавать явными формулами подобно тому, как формула y(x)=x2 задает функцию y. Чтобы найти y(x) из этого примера, нужно число х умножить само на себя. Разумеется, для функций Матье и Хилла формулы имеют более сложную структуру, но принцип тот же: слева от знака равенства стоит величина, которую нужно найти, а справа указаны явные действия, выполнение которых приведет к ее нахождению.
При этом работа Ивана Ремизова перекидывает мостик от математики к современной физике. Ученый впервые представил решение обыкновенного дифференциального уравнения в виде формулы, аналогичной знаменитым интегралам нобелевского лауреата Ричарда Фейнмана, с помощью которых описывают движение квантовых частиц. То, что раньше работало для квантовой механики, теперь применимо к классическим задачам.
Когда в Нидерландах урезали бабки на стариков, директриса дома престарелых Humanitas Геа Сийпкес забила хуй на бюрократию и запустила схему: студенты живут бесплатно, взамен 30 часов в месяц тусят с дедами и бабками. Не подай-принеси, а реальное общение - карты, шутки, прогулки.
Лучший момент: студент притащил друзей, побухали, наследили у лифта. Медсестры в шоке, а директриса: “И че? Кому помешали?” На следующий день бабульки весь этаж только это и обсуждали - эмоций больше, чем от любой Санта Барбары !
Её философия: если правило мешает людям улыбнуться - нахер такое правило. Результат?
— смех в коридорах и улыбки, которые стали для заведения нормой.Депрессия у стариков улетела в трубу, студенты экономят на аренде и учатся жизни, а не только теории.
Вот он, ебучий позитив ! 👵🎓
Работаю из дома фрилансером-дизайнером. В данный момент работаю над оформлением одного печатного издания. Заказчик - швед, хорошо платит. Файл - 186 печатных страниц, размер на диске, - почти гигабайт. В моём компьютере уже давно трудятся 2 NVMe накопителя: 1 старенький Kingston на 254 Гб, но со сверхнадёжной памятью типа LLC под систему, и WD Black SN810 1 Тб под файлы. А ещё в компе есть заслуженный ветеран HDD WD Blue, тоже 1 ТБ, который я использую, как хранилище резервных копий важных файлов. Вот о нём и будет повествование.
Вот такой вот WD.
В общем, как-то раз меня посетила гениальная мысль. Проект приходится часто сохранять во время работы, а это на минуточку почти гигабайт. При отличном TBW моего твердотельника, он тоже не вечен, и каждый раз записывать гиг на него не есть гут. Дай-ка я подключу свой резервник и буду работать с файлом на нём. Сказано - сделано! Я работаю с файлом, сохраняюсь, - всё отлично. Время от времени кидаю резервную копию на твердотельник, и всё прекрасно.
Но сегодня диск перестал отвечать прямо во время работы. Перезагружаю компьютер. Система стартует с огромной задержкой. Диска не видит. Выключаю комп, меняю кабели SATA и питания. Ничего не меняется. Захожу в диспетчер оборудования и и дисков. Весь признак, что диск ещё физически существует обозначен коротко: "неизвестное устройство". Перезагружаюсь, захожу в BIOS, а там пусто. Все SATA-порты помечены как пустые.
Окей. Но в данный момент меня больше беспокоит состояние проекта. Лезу в резервный файл, а там... Бэкап в последний раз делался 3 дня назад. То есть 3 дня работы коту под хвост. Чтобы было понятнее, то 3 дня работы это почти 40 000 рублей. Приехали!
12 лет назад я работал в технической поддержке WD. Начинаю вспоминать всё, что я тогда знал. А знал я следущее: линейка Blue у них одна из самых надёжных, 90% всех проблем были с дурацкой линейкой Green, причём эти диски даже никто чинить не пытался, и при любой проблеме они сразу шли под гарантийную замену. Дальше я начал разбирать проблему по шагам. Компьютер диск не видит. При запуске компьютера слышно, как диск раскручивается. Потом слышна серия нормальных пощёлкиваний, когда магнитные головки выхоят со своих парковочных мест. Никаких ненормальных звуков диск не издаёт. Нагрев корпуса диска нормальный. Система стартует с промедлением, как-будто не может разобраться, что за устройство перед ней. Программы Crystal Disk Info и Hard Disk Sentinel тоже конкретно тупят во время запуска, не понимая, что они видят и чего не видят, а после загрузки полностью игнорируют этот диск.
Окей. Лезу в интернет за помощью, в том числе и вопрошаю всемогущий ИИ. Везде стандартные советы: перезагрузите систему, проверьте подключение кабелей, проверьте целостность кабелей, проверьте контакты, несите диск в ремонт и все остальные стандартные советы. Всё это я уже знаю, но мне хочется разобраться в проблеме и не хочется терять 4 дня работы. Был ещё совет взять такой-же диск, как донор, снять с него плату контроллера и подключить её к моей коробке. Но проблема в том, что у WD каждая плата контроллера содержит уникальный микрокод, который подходит только к конкретному диску индивидуально, и не подойдёт к другому точно такому же диску.
И тогда я решил сделать то, что нигде не было посоветовано. Я вытащил диск из компьютера. Вооружившись отвёрткой я снял с него плату контроллера. На плате контроллера есть 2 контактные площадки .
1 - контакты привода "блинов", 2 - контакты магнитных головок.
И я их просто почистил. Сначала я это делал спиртом, но мне не очень понравился их цвет. Даже после чистки спиртом они выглядели слишком мутными и тусклыми. Тогда я взял мелкую волоконную шкурку (она очень нежная и мягкая) и аккуратно почистил контакты ей, а после смыл всё спиртом.
Вот она, красавица.
И знаете что? Диск заработал! И мне даже показалось, что спросил меня: а ты чего это так запаниковал, друг мой любезный? Ура! Ура?! Ура? Ура...
Но не всё оказалось так радужно. Файл, который был на диске, и на который я возлагал так много надежд, оказался... безнадёжно битым.
Привет! Извини, но мы оба облажались. И в первую очередь - ты. Хахаха!
Ну, приехали опять, некая неизестная мать.
И опять думы тяжкие, как бы всё-таки не делать заново всю эту работу.
Тогда я решил отсканировать диск программой для восстановления. Я ипользовал Hetman Partition Recovery (это не реклама, просто она у меня уже была установлена). И о чудо: она нашла 2 временных файла с расшиением .tmp, которые Иллюстратор использовал во время сохранения.
Красавцы, мои спасители.
Слава всем, на этот диск система никогда ничего не записывает в автоматическом режиме, и файлы отались нетронутыми. Я восстановил их, открыл в Иллюстраторе и получил промежуточный файл который был всего получасовой давности от текущей версии.
Мораль сей басни такова: Не забывайте делать резервные копии вовремя, а также никогда не отчаивайтесь. Всем добра и со святым праздником Рождества!
Диалог соседки с подругой.
- Пролили посередине зала кислоту, она прожгла в линолеуме солидную дыру. Естественно, надо менять весь линолеум в комнате. А муж деньги на гребанный лодочный мотор копил, тяжело копил и вместо замены всего покрытия предложил аккуратно обрезать и заменить только испорченный кусок, там где-то 30 на 40 сантиметров. Я удивилась, линолеум-то еще советский, такого давно не делают, а он уверил, что знает место где можно такой достать. И через пару дней, придя с работы, увидела вклеенную заплатку. Поразительно, но линолеум в ней оказался прямо один в один как наш.
- А потом-то ты узнала, где он его достал?
- Да, узнала.
- Он сам сказал?
- Нет. Генеральную уборку делала, диван отодвинула и нашла это место.
